Groupes a fibres affines, de rang unipotent nul

Thdoreme 4.1. Soient S un preschema, G un S-preschema en groTapes lisse sur S, de presentation finie, a fibres affines, conne-xes, de rang unipotent (Exp XV 6.1 ter ) nul. Alors s 

Ces conditions sont toujours rdalisees, si S est localement noe-thdrien de dimension 1.  

Demonstration. Comme G est a fibres affines (done de rang abe-lien nul) et de rang unipotent nul, G posskde localement pour la topologie etale des tores maximaux (Exp. XV 8.18 ) et tout tore 

Demonstration de d). Comme G est quasi-affine (3-5 b) ) et Z de type multiplicatif, done affine sur S, G est quasi-affine (Exp. VLg 9 ). 

Par ailleurs, N/T est representable par un S-preschema en groupes, 6tale, s6pare sur S, de type fini (Exp. XV 7 1 iv) ) done quasi-fini sur S. La derniere assertion de d) va done result er du lemme suivant, applique avec X W et Y = S  

---