Tores maximaux

Demonstrat ion.- Comme G a ses fibres maximales affines, toutes les fibres de G sont affines (cf. demonstration de X 10). Far ailleurs le rang r ductif de G est localement constant, done le foncteur des tores maximaux de G est... 

Ran argues 1.11. a) Le preschema de 6.10 s appellera comme de juste le nreschema des tores maximaux de G. On verra au N° 5 qu il est en fait affine sur S. On peut le verifier directement, lorsque G est iscmoiphe k un so us-prl schema en groupes feme d un preschema de la forme Gl(n), en uti-lisant XI 4.6 et en ranarquant que par le raisonnement de la demonstration de 1.7 b), s identifie k un soua-pre schema a la fois ouvert et ferme du preschema F qui represents les soue-groupes de type multiplicatif de G. ... 

T Central) de l ensemble des tores maximaux dans l ensemble des sous-... 

Proposition 4.10. Soit G un groupe algebrique affine, lisse, connexe sur un corps algebriquement clos k. Alors le centre reductif de G est l inter-section des tores maximaux de G. ... 

Pe ceci r sulte immediatement que pour tout tore maximal T de G, son image T =u(T) est un tore maximal de G, et que Tj—>u(T) est une correspondence biunivoque entre sous-tores maximaux de G et tores maximaux de G. ... 

D ailleurs, pour que G soit nilpotent, resp. n ait qu un seul tore maximal, il faut et il suffit que G satisfasse la mime condition, or G etant affine, les deux conditions en question sur G sont equivalentes (BIBLE 6 th. 4 cor. 2), done il en est de mime pour les conditions en question pour G. D ailleurs, si G n a qu un seul tore maximal T, ce dernier est invariant, done central, et comme tout tore dans G est contenu dans un tore maximal, il est central. Reciproquement, si tout tore est central, il en est de mime des tores maximaux, et par le theoreme de conjugal son a) il n y a qu un seul tore maximal. Cela prouve 6.7. 

De plus, T est un tore maximal de C, done en vertu de 6.7 e eot l unique tore maximal de C, par suite 1 application T[— Centr fT) de 1 ensemble des tores maximaux de G dans 1 ensemble des sous-groupes de Cartan est bi.iective. D ailleurs on a... 

De plus, d apres la correspondance biunivoque entre les tores maximaux et les sous-groupes de Cartan, on voit que Hornufc) et Norm fT) ont mimes points a valeurs dans k, et comme le deuxilme est lisse, on a... 

Soient T,T deux tores maximaux de G, C,C les sous-groupes de Cartan correspondents, alors on a... 

G° satisfait aux hypotheses prdliminaires de G, et il y a une correspondance biunivoque evidente entre les tores maximaux de G, et ceux de G°. Done pour prouver c) et d), on peut supposer G k fibres connexes, ce que nous ferons. Alors les sous-groupes de Cartan de G sont a fibres connexes (6.6 a) ). Ceci posd, je dis que Cn° est un sous-groupe de Cartan de Gg au-dessus d un voisinage ouvert de s" dans S (ce qui achkvera de prouver c) ). Ceci r sulte en effet du... 

Elements semi-simples. reunion et intersection des tores maximaux dans les schemas en grounes non necessairement affines. ... 

Nous dirons qu un dl nent g de G(k) est semi-simple si c est un element semi-simple de V(k). Comme les tores maximaux de V sont evid eminent iden-tiques aux tores maximaux de G, il revient au raeme de dire que g appartient k un tore maximal de G. C est evidemment encore une notion invariante par extension algebriquement close k /k du corps de base k, ... 

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