Faisceaux quotients

Proposition 5.2 3. Soit u H —>G un monomorphiame de faisceaux en groupes identifiant H k un soua-faisceau en groupes invariant de G. II existe sur le quotient g/h une structure unique de faisceau en groupes telle que le morphisme canonique p G — g/h soit un morphiane de groupes. Cette structure est fonctorielle en le couple (H,G) (H invariant). ... 

En effet, notons L le faisceau image de L dans g/h. C est un soua-faiscean en groupes de G/H correspondant k L. H dans la correspondence de la proposition precedents. Comme le morphisme L —>L est couvrant, done un epimorphisme effectif universal de faisceaux, il rdsuite de 4.4.9 que L s identifie au quotient de L par le noyau de L — L qui n est evi-demment autre que HfiL. ... 

Soit par example la cat gorie des espaces armel s. Dans ce cas, il existe toujours un conoyau (T, p) dont on peut dormer la description sui-vante 1 espace sous-jacent k T est obtenu k partir de Xq en identifiant les points dQ(x) et d (x) et en munissant Y de la topologie quotient, application canonique 7T X -<—V Y et dQ,d induisent alors une double-flfeche de faisceaux d anneaux sur Y... 

Posons Y = Spec B et p = Spec i, oil i est l inclusion de B dans Aq. Nous allons d abord montrer que (Y,p) est un conqyau de (dQ,d ) dans la catdgorie de tous les espaces annelds il results en effet de b) que 1 ensemble sous-jacent a Spec B est obtenu a partir de 1 ensemble sous-jacent k Xq en identifiant les points x et y tels qu il existe z X avec d z = y, dQz = x. De plus, comme i est entier, Spec i est fermd de sorte que Y est muni de la topologie quotient de celle de Xq. Il rdsuite enfin du choix de B et du fait que p, dQ et d sont affines, que la suite canonique de faisceaux d anneaux... 

Pour tout entier m 1 A n ddfinit par passage au quotient un homo-morphisme de faisceaux... 

R = J pX, enfin le quotient X = Y/R est aussi un quotient dans la catEgorie des faisceanx pour fpqc (et mime, dans la categorie des faisceaux pour la topologie de Zariski) s il suffit d utiliser les dEfinitions de "quotient" et de "faisceau" pour s en convaincre. Par suite, u se factorise de fagon unique par un morphisme... 

Construction d un quotient dans le site cles (f.p.q.c)-faisceaux (Sch/S)... 

---