Torseurs sous un groupe diagonalisable

Rappelons d autre part (Exp. i) que la donnee d un S-preschema P affine sur S k groups d operateurs G = Dg(M) revient k la donnee d une Algfebre quasi-coherente commutative graduee de type M sur S, i.e. d une Algfebre quasi-coherente A sur S, munie d une decomposition en somme directs (en tant que Module)  

Ceci pose, la reponse au problems pose plus haut est donnee par la 

Proposition 4.1. Pour que le preschema P a groupes d operateurs G=Dg(M), defini par l Algfebre A graduee de type M, soit un fibre principal homogene sous G, il faut et il suffit qu elle satisfasse les conditions suivantes  

Du point de vue degr s, cet homomoiphisme est compatible avec 1 homomorphisme MxM MxM donn par 

Notons aussi qu on obtient, par descents fidfelement plate  

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