Q-soit

Enfin, le fait que le morphisme canonique Q. ----- g (Q ) soit un isomorphisms... 

Nous pouvons nous limiter au cas oil S est integre soit t son point generique. Pour tout entier n gal a une puissance de q, soit G le sous-pr6sch6ma de G "noyau" de 1 61Ovation A la puissance dans G. Comme E est localement ferm6 dans G... 

G Tin S-prAschAma en groupes de type fini sur S, q un entier > 1 inversible sur S, r un entier positif. Pour tout entier n Agal A une puissance de q, soit M(n) un sous-schAma en groupes de G, de type multiplicatif et de type (z/nZ)r. On suppose que s... 

Lorsque L est un faisceau relativement invariant sous G, la demonstration de V 3.1 se simplifie et on obtient le rdsultat plus precis suivant Proposition V 4.2. Soient S un schema, X un S-schdma quasi-compact et quasi-s pare, f le morphisme structural de X, Soient G un S-sch ma en groupes, plat sur S, qui opere sur X et L un faisceau inversible sur X qui est relativement invariant sous G et engendr par ses sections relativement AS. Considerons le S-morphisme canonique r s X — P = roj(n Q Alors il existe une unique action de G sur P, telle que r soit compatible avec 1 action de G sur X et sur P. Si de plus L possede une G-linearisation, 1 action de G sur P provient d une action de G sur la... 

T de Q, ce qui nous ramkne au cas oil S est le spectre d un anneau de valuation discrete de point g n rique, de point ferm s et vu l hypothkse faite, on peut supposer G lisse sur S Soit alors le S-modkle de... 

Proposition VII 1.5. Soient S un schema, G un S-schbma en groupes, H un sous-schbma en groupes de G, tel que le faisceau quotient G/H, pour la topologie f.p.q.c, soit representable. Alors ... 

Nous sommes ramenes au cas ok S est normal noetherien et il suffit alors d ap-pliquer ii). Supposons maintenant S localement noetherien et % representable et montrons que 1 adherence schematique G/k de G/N dans % est affine sur S Sous cette forme l assertion devient locale sur S et par passage a la limite, nous pouvons supposer S local, puis par descente f.p.q.c S local complet. Soit alors S le normalise de qui est fini sur S (EGA Oj. ... 

Lemme 7.6. Soit u G —>H tin monomorphisme surjectif de groupss algebriques commutatifs sur un corps k ds caract lstique p > 0, considerons Is groupe (purement infinitesimal) Q = H/G, alors il sxists un sntisr tsl qua pour la suits... 

The or feme 4.7. Solent S un prd schema, G un groupe de type multiplicatif et de type fini sur S. Pour tout entier n 0, soit qG le noyau de n id. Alors la fan ills des sous-pre schemas ( G) q j e est schematiquement dense... 

Lorsque X —> S est quasi-compact done de presentation finie et quasi-fini, alors e est un morphiane quasi-affine (SGA 1 VIII 6.2), et 1 effectivitl r< sulte dans ce cas SGA 1 VIII 7.9. Dans le cas general, on se r amine aussitlt au cas ou S et S sont affines. On recouvre X par des ouverts affines, soit le saturl de U pour la relation d equivalence dans X de-finie par la donnee de descente, i.e. = q (q - u )) ou q,j > qg sont... 

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