Morphismes quasi-finis. Main theorem de Zariski

Proposition 1.- Soient k un corps, B une k-algfebre de type fini et soit q Spec B. Les propositions suivantes sont quivalentes [Pg.39]

Supposons que q soit isole dans Spec B. Ceci signifie qu il existe f B-q, tel que Spec B. = jqj. Comme B est noetherien et n a qu un seul ideal premier, il est arti-nien et de plus local d1 ideal maximal qB. . Mais B JqB est un corps qui est une algebre de type fini sur k done B Bj. est fini sur k (cf. prop.12 ch.IIl). L anneau Bf est un anneau artinien, done est un Bf-module de longueur finie, et par suite Bf est fini sur k. Enfin B = (b, mais comme Bf est local = Bf, ce qui prouve (1 ) == (2). [Pg.39]

Proposition 2.- Soient A un anneau, B une A-algebre de type fini, q Spec B, p [Pg.40]

1 image reciproque de q dans A. Les propositions suivantes sont Equivalentes [Pg.40]

Demonstration Les proprietes Etant ponotuelles on peut supposer, quitte a faire le change-ment de base A - A, A local de radical p. [Pg.40]

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