Groupes radiciels

Proposition 4.2.1. Soit G un groupe algebrique radiciel defini sur un corps k de caracteristique p 0. Alors les conditions suivan- 

Nous aurons besoin du lemme suivant sur les p-algebres de Lie abeliennes  

Lemme 4 2.2. Soit Xj, une p-algebre de Lie, abelienne, de dimension finie sur un corps k par fait. Alors TiJ. s ecrit de manifere unique comme somme directe d une sous-p-algebre de Lie (R, sur laquelle la puissance p me est bijective et d une sous-p-algebre de Lie XL, unipotente (3.6 ). (L algebre iSL sera appelee la partie reductive de et XL la partie unipotente.). La formation de et 1L est compatible avec 1 extension du corps k. Si de plus k est alg bri-quement clos, (R, admet -une base e telle que e =  

La demonstration de ce lemme est facile et laissge au soin du lecteur (cf. Bourbaki, Algfebres de Lie, chap. I 1 exercice 23). Disons simplement que XL est le noyau d un iter convenable de I ap-plication XI—X et que (R. est l image du meme iterg. 

Ceci etant, prouvons iv) —). v). Quitte a faire une extension du 

---

On peut supposer k alg4briquement clos (EGA IV 9.1.3), puis, quitte A remplacer X par G°.X, on peut supposer X stable sous G°. Le schema X est alors some de ses composantes irrdductibles, en nombre fini, qui sont des espaces homogfenes sous G°. Bref, il suffit de traiter le cas oA X = G/H avec G connexe. Si G est lisse, ce qui sera le cas si k est de caract ristique 0 (SGA 3 VI 1.6.1), G/H est quasi-projectif d apr s VI 2.5. Sinon, il existe un sous groupe radiciel F invariant dans G, tel que G/F soit lisse (SGA 3 XVII Appendice II 3.1). D aprfes ce que l on vient de voir, G/HF est quasi-projectif. Comme le morphisme canonique G/H — >G/HF est fini, G/H est galement quasi-projectif. 

Sinon H est de dimension 0 et par suite est extension d un groupe etale H par sa composante neutre H qui est un groupe radiciel. 

Lemme 1.6. Si k est un corps parfait, toute extension H d un groupe algdbrique dtale H" par un groupe radiciel H est triviale. 

---