Codimension definition

IX 1.0. Nous appellerons schema de Krull un schema qui admet un recouvrement par des ouverts affines, spectres d anneaux de Krull (Bourbaki, alg. com. chap. VII 1). Si A est un anneau de Krull, on sait (loc. cit.) que le localise de A par une partie multiplicative, 1 anneau des polynSmes A[T], et le normalise de A dans une extension algebrique finie du corps des fractions de A, sont des anneaux de Krull. II en resulte que si S est un schema de Krull, tout schema X lisse sur S est un schema de Krull de plus, les points de codi— mension 1 de X sont les points de codimension 1 des fibres maximales de X et les points maximaux des fibres de X au-dessus des points de codimension 1 de S. Proposition IX 1.1. Soient S un schema, X un S-schema lisse sur S, h fibres connexes, I un S-schema localement de type fini, e S —> X et 6 S — I. deux S-sections, f une S-application rationnelle de X dans I, U son domaine de definition. On suppose que pour tout point x de... 

In the situation of this Proposition, dim X — dim Y will be called the codimension of X in Y. This is half of what we want so that our definition gives a good dimension function. The other half is that it does not go down too much. 

Definition 3. Let X be a variety, and let Z C X be a closed subset. Then Z has pure dimension r if each of its components has dimension r (similarly for pure codimension r). 

Definition 2. A variety X is non-singular in codimension 1 if it is non-singular at all points x such that has codimension 1. 

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