Algfebres de Lie

Nous avons traits succinctement le cas des principales structures algebriques rencontrees dans la suite de ce sdminaire. Pour les autres (structure de O-algfebre de Lie par example), nous croyons qua le lecteur aura eu suffisam-ment d exemples dans ce paragraphs pour pouvoir dans chaque cas particulier faire fonctionner lui-m ne le mecanisme general esquiss dans 2.2. 

Nous nous proposons dans cat expose de construire 1 analogue en thdorie des schemas des fibres tangents et algfebres de Lie de la thdorie classique. 

Nous appellerons Lie(G/s) muni de cette structure l "algebre de Lie11 de G sur S (les guillemets etant justifies par le fait que Lie(G/S) n est pas a strictement parler une Og-algfebre de Lie). A toute representation lindaire de G dans un bon Og-module F est associ e une representation de son "algfebre de Lie". En particulier, h la representation adjointe de G est associee la representation adjointe de son "algfebre de Lie". 

On a done associe fonctoriellement h tout S-nrdschema en groupe s G sur S un fibre vectoriel Lie(G/s) sur S muni d une structure de S-schdma en algfebres de Lie sur le S-schdma d anneaux 0. Rappelons (3.4 et 3.8 ) que cette construction commute aux produits finis et k l exten-sion de la base. 

Notons que oette construction se fait pour toute representation lineaire d une 0 -"algfebre de Lie" et que les deux sous-objets construits sont des sous-... 

Ceci se d iontre exactement cccnme le fait correspordant sur les Algfebres de Lie, c est-k-dire sur le Module JiLy /g remarque d abord que V est muni par... 

Par exemple, si A est une R-algfebre, nous avons vu en 5 1 qu on ebtenait une p-algfebre de Lie A en prenant le R-module sous-jacent A A et en posant... 

Dans la suite nous considlrerons surtout des sous-p-algfebres de Lie... 

Spec R est une p-Algfebre de Lie quasi-coherente sur Spec R. De plus,... 

Soit S un p re schema de caractdristique p > 0. Nous dirons qu une Og-Algebre A (resp. une O -p-Algfebre de Lie L) est finie localement libre si le Og-Module sou -jacent a A (resp. L) est localement libre et de type fini. Si L est une O-p-Algfebre de Lie finie localement libre, nous savons que le S-foncteur en groupes... 

Considdrons en particulier une algfebre de Lie L plate sur C, prenons pour U l algfebre enveloppante U(L) de L sur C et identifions L h. son image canonique dans U. D aprfes le lemme 3.1, L est done l en-semble des Elements piimitifs de U (en effet L est un produit de modules... 

PROPOSITION t Soient k un anneau pseudo compact contenant IQ t Ij tine algfebre de Lie plate sur k t C une k-algebre profinie de longueur finie et (C) le radical de C. LApplication... 

PROPOSITION t Soient p un nombre premier, k un anneau pseudocompact de caract4ris tique p, L une p-algfebre de Lie plate sur k, C une k-algebre prof inie de longueur finie et l iddal de C formg des... 

---